初级微积分示例

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

解题步骤 1

求两个向量的夹角的方程 $θ$ 表明两个向量的点积等于两个向量的大小与两个向量夹角余弦值的乘积。

$u \cdot v = | u | | v | c o s (θ)$

解题步骤 2

求解 $θ$ 的方程。

$θ = a r c \cdot c o s (\frac{u \cdot v}{| u | | v |})$

解题步骤 3

求矢量的点积。

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要求点积，请求出向量对应分量的乘积之和。

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$

将向量的分量代入表达式中。

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

化简。

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去掉圆括号。

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

化简每一项。

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将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 \cdot 9$

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$2 + 18$

将 $2$ 和 $18$ 相加。

$20$

解题步骤 4

求 $u$ 的大小。

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要求向量的幅值，请求出向量后各分量平方之和的平方根。

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

将向量的分量代入表达式中。

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

化简。

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一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 + 4}$

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{5}$

解题步骤 5

求 $v$ 的大小。

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要求向量的幅值，请求出向量后各分量平方之和的平方根。

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

将向量的分量代入表达式中。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

化简。

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对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + 81}$

将 $4$ 和 $81$ 相加。

$\sqrt{85}$

解题步骤 6

将值代入向量之间的角的方程中。

$θ = \arccos (\frac{20}{(\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{85})})$

解题步骤 7

化简。

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化简分母。

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使用根数乘积法则进行合并。

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

将 $5$ 乘以 $85$ 。

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

化简分母。

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将 $425$ 重写为 $5^{2} \cdot 17$ 。

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从 $425$ 中分解出因数 $25$ 。

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

从根式下提出各项。

$\arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

约去 $20$ 和 $5$ 的公因数。

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从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

约去公因数。

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从 $5 \sqrt{17}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

约去公因数。

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

重写表达式。

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

将 $\frac{4}{\sqrt{17}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ 。

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

合并和化简分母。

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将 $\frac{4}{\sqrt{17}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ 。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

对 $\sqrt{17}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

对 $\sqrt{17}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

将 ${\sqrt{17}}^{2}$ 重写为 $17$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{17}$ 重写成 $17^{\frac{1}{2}}$ 。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

重写表达式。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

计算指数。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

计算 $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ 。

$0.24497866$

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