初级微积分示例

$f (x) = 2 x^{2} + 5$

Step 1

将 $f (x) = 2 x^{2} + 5$ 写为等式。

$y = 2 x^{2} + 5$

Step 2

交换变量。

$x = 2 y^{2} + 5$

Step 3

求解 $y$ 。

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将方程重写为 $2 y^{2} + 5 = x$ 。

$2 y^{2} + 5 = x$

从等式两边同时减去 $5$ 。

$2 y^{2} = x - 5$

将 $2 y^{2} = x - 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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将 $2 y^{2} = x - 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

化简右边。

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将负号移到分数的前面。

$y^{2} = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

取方程两边的平方根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$

化简 $\pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$ 。

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在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{2}}$

将 $\sqrt{\frac{x - 5}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$

将 $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

合并和化简分母。

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将 $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2}$

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$

将 $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ 是否为 $f (x) = 2 x^{2} + 5$ 的反函数。

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反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 2 x^{2} + 5$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

求 $f (x) = 2 x^{2} + 5$ 的值域。

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值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[5, \infty)$

求 $\frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ 的定义域。

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将 $\sqrt{2 (x - 5)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 (x - 5) \geq 0$

求解 $x$ 。

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将 $2 (x - 5) \geq 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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将 $2 (x - 5) \geq 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

用 $x - 5$ 除以 $1$ 。

$x - 5 \geq \frac{0}{2}$

化简右边。

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用 $0$ 除以 $2$ 。

$x - 5 \geq 0$

在不等式两边同时加上 $5$ 。

$x \geq 5$

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[5, \infty)$

求 $f (x) = 2 x^{2} + 5$ 的定义域。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ 的定义域为 $f (x) = 2 x^{2} + 5$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ 的值域又为 $f (x) = 2 x^{2} + 5$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ 为 $f (x) = 2 x^{2} + 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 6

初级微积分 示例

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