初级微积分示例

$f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 3 - x$

Step 1

将 $\sqrt{2 x - 3} + 3 - x$ 设为等于 $0$ 。

$\sqrt{2 x - 3} + 3 - x = 0$

Step 2

求解 $x$ 。

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将所有不包含 $\sqrt{2 x - 3}$ 的项移到等式右边。

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从等式两边同时减去 $3$ 。

$\sqrt{2 x - 3} - x = - 3$

在等式两边都加上 $x$ 。

$\sqrt{2 x - 3} = - 3 + x$

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 x - 3}}^{2} = {(- 3 + x)}^{2}$

化简方程的两边。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x - 3}$ 重写成 ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 + x)}^{2}$

化简左边。

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化简 ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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将 ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 + x)}^{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 + x)}^{2}$

重写表达式。

${(2 x - 3)}^{1} = {(- 3 + x)}^{2}$

化简。

$2 x - 3 = {(- 3 + x)}^{2}$

化简右边。

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化简 ${(- 3 + x)}^{2}$ 。

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将 ${(- 3 + x)}^{2}$ 重写为 $(- 3 + x) (- 3 + x)$ 。

$2 x - 3 = (- 3 + x) (- 3 + x)$

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 + x) (- 3 + x)$ 。

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运用分配律。

$2 x - 3 = - 3 (- 3 + x) + x (- 3 + x)$

运用分配律。

$2 x - 3 = - 3 \cdot - 3 - 3 x + x (- 3 + x)$

运用分配律。

$2 x - 3 = - 3 \cdot - 3 - 3 x + x \cdot - 3 + x \cdot x$

化简并合并同类项。

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化简每一项。

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将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$2 x - 3 = 9 - 3 x + x \cdot - 3 + x \cdot x$

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x - 3 = 9 - 3 x - 3 \cdot x + x \cdot x$

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x - 3 = 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$2 x - 3 = 9 - 6 x + x^{2}$

求解 $x$ 。

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因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$9 - 6 x + x^{2} = 2 x - 3$

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$9 - 6 x + x^{2} - 2 x = - 3$

从 $- 6 x$ 中减去 $2 x$ 。

$9 + x^{2} - 8 x = - 3$

在等式两边都加上 $3$ 。

$9 + x^{2} - 8 x + 3 = 0$

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

使用 AC 法来对 $x^{2} - 8 x + 12$ 进行因式分解。

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思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $- 8$ 。

$- 6, - 2$

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 6) (x - 2) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

最终解为使 $(x - 6) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 6, 2$

排除不能使 $\sqrt{2 x - 3} + 3 - x = 0$ 成立的解。

$x = 6$

Step 3

初级微积分 示例

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