微积分学示例

$f (x) = x^{2} e^{4 x}$

Step 1

求二阶导数。

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求一阶导数。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{4 x}$ 。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

求微分。

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因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

化简表达式。

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将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$f' (x) = x^{2} (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)$

化简。

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重新排序项。

$f' (x) = 4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x$

将 $4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = 4 x^{2} e^{4 x} + 2 x e^{4 x}$

求二阶导数。

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根据加法法则， $4 x^{2} e^{4 x} + 2 x e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{4 x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{4 x}]$ 。

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因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2} e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{4 x}$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

计算 $\frac{d}{d x} [2 x e^{4 x}]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{4 x})$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{4 x}$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1)$

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1)$

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1)$

将 $e^{4 x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x})$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x})$

运用分配律。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

合并项。

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将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 16 (x^{2} (e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 (e^{4 x} (x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 e^{4 x} x + 8 (x (e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

将 $8 e^{4 x} x$ 和 $8 x e^{4 x}$ 相加。

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移动 $e^{4 x}$ 。

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 x e^{4 x} + 8 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

将 $8 x e^{4 x}$ 和 $8 x e^{4 x}$ 相加。

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

重新排序项。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} x^{2} + 16 e^{4 x} x + 2 e^{4 x}$

将 $16 e^{4 x} x^{2} + 16 e^{4 x} x + 2 e^{4 x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$ 。

$16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Step 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$ 。

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将二阶导数设为等于 $0$ 。

$16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$

从 $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$ 中分解出因数 $2 e^{4 x}$ 。

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从 $16 x^{2} e^{4 x}$ 中分解出因数 $2 e^{4 x}$ 。

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$

从 $16 x e^{4 x}$ 中分解出因数 $2 e^{4 x}$ 。

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x) + 2 e^{4 x} = 0$

从 $2 e^{4 x}$ 中分解出因数 $2 e^{4 x}$ 。

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x) + 2 e^{4 x} (1) = 0$

从 $2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x)$ 中分解出因数 $2 e^{4 x}$ 。

$2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x) + 2 e^{4 x} (1) = 0$

从 $2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x) + 2 e^{4 x} (1)$ 中分解出因数 $2 e^{4 x}$ 。

$2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{4 x} = 0$

$8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

将 $e^{4 x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $e^{4 x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{4 x} = 0$

求解 $x$ 的 $e^{4 x} = 0$ 。

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取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{4 x}) = \ln (0)$

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

$e^{4 x} = 0$ 无解

无解

将 $8 x^{2} + 8 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $8 x^{2} + 8 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

求解 $x$ 的 $8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ 。

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使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

将 $a = 8$ 、 $b = 8$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

化简。

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化简分子。

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对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ 。

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将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

从 $64$ 中减去 $32$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

化简 $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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化简分子。

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对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ 。

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将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

从 $64$ 中减去 $32$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

化简 $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 2 + \sqrt{2}}{4}$

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}}{4}$

从 $\sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

从 $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2})}{4}$

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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化简分子。

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对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ 。

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将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

从 $64$ 中减去 $32$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

化简 $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{4}$

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

从 $- \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2})}{4}$

从 $- 1 (2) - (\sqrt{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2})}{4}$

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

最终解为使 $2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Step 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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将 $- 0.1464466$ 代入 $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ 以求 $y$ 的值。

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使用表达式中的 $- 0.1464466$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.1464466) = {(- 0.1464466)}^{2} e^{4 (- 0.1464466)}$

化简结果。

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对 $- 0.1464466$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 e^{4 (- 0.1464466)}$

将 $4$ 乘以 $- 0.1464466$ 。

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 e^{- 0.58578643}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 (\frac{1}{e^{0.58578643}})$

组合 $0.0214466$ 和 $\frac{1}{e^{0.58578643}}$ 。

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{e^{0.58578643}}$

使用近似值替换 $e$ 。

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{{2.71828182}^{0.58578643}}$

对 $2.71828182$ 进行 $0.58578643$ 次方运算。

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{1.79640318}$

用 $0.0214466$ 除以 $1.79640318$ 。

$f (- 0.1464466) = 0.01193863$

最终答案为 $0.01193863$ 。

$0.01193863$

通过将 $- 0.1464466$ 代入 $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ 中求得的点为 $(- 0.1464466, 0.01193863)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 0.1464466, 0.01193863)$

将 $- 0.85355339$ 代入 $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ 以求 $y$ 的值。

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使用表达式中的 $- 0.85355339$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.85355339) = {(- 0.85355339)}^{2} e^{4 (- 0.85355339)}$

化简结果。

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对 $- 0.85355339$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 e^{4 (- 0.85355339)}$

将 $4$ 乘以 $- 0.85355339$ 。

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 e^{- 3.41421356}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 (\frac{1}{e^{3.41421356}})$

组合 $0.72855339$ 和 $\frac{1}{e^{3.41421356}}$ 。

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{e^{3.41421356}}$

使用近似值替换 $e$ 。

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{{2.71828182}^{3.41421356}}$

对 $2.71828182$ 进行 $3.41421356$ 次方运算。

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{30.39303779}$

用 $0.72855339$ 除以 $30.39303779$ 。

$f (- 0.85355339) = 0.02397106$

最终答案为 $0.02397106$ 。

$0.02397106$

通过将 $- 0.85355339$ 代入 $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ 中求得的点为 $(- 0.85355339, 0.02397106)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 0.85355339, 0.02397106)$

确定可能是拐点的点。

$(- 0.1464466, 0.01193863), (- 0.85355339, 0.02397106)$

Step 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 0.85355339) \cup (- 0.85355339, - 0.1464466) \cup (- 0.1464466, \infty)$

Step 5

将区间 $(- \infty, - 0.85355339)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

使用表达式中的 $- 0.95355339$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 16 {(- 0.95355339)}^{2} e^{4 (- 0.95355339)} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

化简结果。

点击获取更多步骤...

化简每一项。

点击获取更多步骤...

对 $- 0.95355339$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.95355339) = 16 \cdot (0.90926406 e^{4 (- 0.95355339)}) + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

将 $16$ 乘以 $0.90926406$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 e^{4 (- 0.95355339)} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

将 $4$ 乘以 $- 0.95355339$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 e^{- 3.81421356} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 (\frac{1}{e^{3.81421356}}) + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

组合 $14.54822509$ 和 $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ 。

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{e^{3.81421356}} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{{2.71828182}^{3.81421356}} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

对 $2.71828182$ 进行 $3.81421356$ 次方运算。

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{45.34108442} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

用 $14.54822509$ 除以 $45.34108442$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

将 $16$ 乘以 $- 0.95355339$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

将 $4$ 乘以 $- 0.95355339$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot e^{- 3.81421356} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot \frac{1}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

组合 $- 15.25685424$ 和 $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 + \frac{- 15.25685424}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{{2.71828182}^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

对 $2.71828182$ 进行 $3.81421356$ 次方运算。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{45.34108442} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

用 $15.25685424$ 除以 $45.34108442$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 1 \cdot 0.33649072 + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

将 $- 1$ 乘以 $0.33649072$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

将 $4$ 乘以 $- 0.95355339$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 e^{- 3.81421356}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 (\frac{1}{e^{3.81421356}})$

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ 。

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + \frac{2}{e^{3.81421356}}$

通过加上各项进行化简。

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从 $0.32086186$ 中减去 $0.33649072$ 。

$f'' (- 0.95355339) = - 0.01562885 + \frac{2}{e^{3.81421356}}$

将 $- 0.01562885$ 和 $\frac{2}{e^{3.81421356}}$ 相加。

$f'' (- 0.95355339) = 0.02848125$

最终答案为 $0.02848125$ 。

$0.02848125$

在 $- 0.95355339$ 处，二阶导数为 $0.02848125$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 0.85355339)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 0.85355339)$ 上递增

Step 6

将区间 $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 {(- \frac{1}{2})}^{2} e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

化简结果。

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化简每一项。

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使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

一的任意次幂都为一。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1}{2^{2}}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1}{4}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

约去 $4$ 的公因数。

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从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (4) (\frac{1}{4}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (4 (\frac{1}{4})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

约去 $2$ 的公因数。

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将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{4 (\frac{- 1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 \cdot - 1} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{- 2} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

约去 $2$ 的公因数。

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将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 16 (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 2 (8) (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 2 \cdot (8 (\frac{- 1}{2})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 8 \cdot - 1 \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{4 (\frac{- 1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 \cdot - 1} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

约去 $2$ 的公因数。

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将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{4 (\frac{- 1}{2})}$

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})}$

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))}$

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 \cdot - 1}$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

合并分数。

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在公分母上合并分子。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

化简表达式。

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从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{e^{2}}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{e^{2}}$

最终答案为 $- \frac{2}{e^{2}}$ 。

$- \frac{2}{e^{2}}$

在 $- \frac{1}{2}$ ，二阶导数为 $- 0.27067056$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ 上递减

Step 7

将区间 $(- 0.1464466, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $- 0.0464466$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 16 {(- 0.0464466)}^{2} e^{4 (- 0.0464466)} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $- 0.0464466$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.0464466) = 16 \cdot (0.00215728 e^{4 (- 0.0464466)}) + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

将 $16$ 乘以 $0.00215728$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 e^{4 (- 0.0464466)} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

将 $4$ 乘以 $- 0.0464466$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 e^{- 0.18578643} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 (\frac{1}{e^{0.18578643}}) + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

组合 $0.0345166$ 和 $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ 。

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{e^{0.18578643}} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{{2.71828182}^{0.18578643}} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

对 $2.71828182$ 进行 $0.18578643$ 次方运算。

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{1.20416506} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

用 $0.0345166$ 除以 $1.20416506$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

将 $16$ 乘以 $- 0.0464466$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

将 $4$ 乘以 $- 0.0464466$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot e^{- 0.18578643} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot \frac{1}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

组合 $- 0.74314575$ 和 $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 + \frac{- 0.74314575}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{{2.71828182}^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

对 $2.71828182$ 进行 $0.18578643$ 次方运算。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{1.20416506} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

用 $0.74314575$ 除以 $1.20416506$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 1 \cdot 0.61714607 + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

将 $- 1$ 乘以 $0.61714607$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

将 $4$ 乘以 $- 0.0464466$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 e^{- 0.18578643}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 (\frac{1}{e^{0.18578643}})$

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ 。

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + \frac{2}{e^{0.18578643}}$

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

从 $0.02866434$ 中减去 $0.61714607$ 。

$f'' (- 0.0464466) = - 0.58848173 + \frac{2}{e^{0.18578643}}$

将 $- 0.58848173$ 和 $\frac{2}{e^{0.18578643}}$ 相加。

$f'' (- 0.0464466) = 1.07242012$

最终答案为 $1.07242012$ 。

$1.07242012$

在 $- 0.0464466$ 处，二阶导数为 $1.07242012$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 0.1464466, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 0.1464466, \infty)$ 上递增

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 0.85355339, 0.02397106), (- 0.1464466, 0.01193863)$ .

$(- 0.85355339, 0.02397106), (- 0.1464466, 0.01193863)$

Step 9

微积分学 示例

微积分学示例