微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

解题步骤 1

无穷等比数列的和可以用公式 $\frac{a}{1 - r}$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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将 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}$

化简。

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将分子乘以分母的倒数。

$r = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}$

合并。

$r = \frac{2^{n + 1} \cdot 3^{n}}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

约去 $2^{n + 1}$ 和 $2^{n}$ 的公因数。

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从 $2^{n + 1} \cdot 3^{n}$ 中分解出因数 $2^{n}$ 。

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

约去公因数。

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从 $3^{n + 1} \cdot 2^{n}$ 中分解出因数 $2^{n}$ 。

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

约去公因数。

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

重写表达式。

$r = \frac{2 \cdot 3^{n}}{3^{n + 1}}$

约去 $3^{n}$ 和 $3^{n + 1}$ 的公因数。

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从 $2 \cdot 3^{n}$ 中分解出因数 $3^{n + 1}$ 。

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1}}$

约去公因数。

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乘以 $1$ 。

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

约去公因数。

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

重写表达式。

$r = \frac{2 \cdot 3^{n - (n + 1)}}{1}$

用 $2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = 2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$

化简每一项。

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运用分配律。

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1}$

从 $n$ 中减去 $n$ 。

$r = 2 \cdot 3^{0 - 1}$

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$r = 2 \cdot 3^{- 1}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$r = 2 \cdot \frac{1}{3}$

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$r = \frac{2}{3}$

解题步骤 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

解题步骤 4

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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将 $1$ 代入 $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ 以替换 $n$ 。

$a = \frac{2^{1}}{3^{1}}$

化简。

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计算指数。

$a = \frac{2}{3^{1}}$

计算指数。

$a = \frac{2}{3}$

解题步骤 5

将公比和首项的值代入求和公式。

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

解题步骤 6

化简。

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将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

化简分母。

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将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

约去 $3$ 的公因数。

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从 $1 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

约去公因数。

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

重写表达式。

$2$

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