微积分学示例

$y = x^{2} + 1$ , $y = x + 3$

Step 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{2} + 1 = x + 3$

求解 $x$ 的 $x^{2} + 1 = x + 3$ 。

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从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{2} + 1 - x = 3$

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} + 1 - x - 3 = 0$

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{2} - x - 2 = 0$

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解。

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思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1 + y = x + 3$

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x + 1) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 3$

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

最终解为使 $(x - 2) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1$

当 $x = 2$ 时计算 $y$ 。

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代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = (2) + 3$

将 $2$ 代入 $y = (2) + 3$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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去掉圆括号。

$y = 2 + 3$

去掉圆括号。

$y = (2) + 3$

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$y = 5$

当 $x = - 1$ 时计算 $y$ 。

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代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$y = (- 1) + 3$

将 $- 1$ 代入 $y = (- 1) + 3$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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去掉圆括号。

$y = - 1 + 3$

去掉圆括号。

$y = (- 1) + 3$

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$y = 2$

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

Step 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x + 3 d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x$

Step 3

用积分求 $- 1$ 和 $2$ 之间的面积。

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将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - (x^{2} + 1) d x$

化简每一项。

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运用分配律。

$x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 1$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x + 3 - x^{2} - 1$

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - x^{2} - 1 d x$

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\int_{- 1}^{2} x - x^{2} + 2 d x$

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 x]_{- 1}^{2}$

化简答案。

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组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}$ 和 $2 x]_{- 1}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

代入并化简。

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计算 $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

化简。

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对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

约去公因数。

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从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

重写表达式。

$\frac{2}{1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 + 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$6 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 - (\frac{1}{2} - 2) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

在公分母上合并分子。

$6 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

化简分子。

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将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$6 - \frac{1 - 4}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$6 - \frac{- 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

将负号移到分数的前面。

$6 - - \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 + 1 (\frac{3}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

组合 $6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

在公分母上合并分子。

$\frac{6 \cdot 2 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

化简分子。

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将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

将 $12$ 和 $3$ 相加。

$\frac{15}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3})$

将负号移到分数的前面。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3})$

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

在公分母上合并分子。

$\frac{15}{2} - \frac{8 + 1}{3}$

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{15}{2} - \frac{9}{3}$

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3}$

约去公因数。

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从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

约去公因数。

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

重写表达式。

$\frac{15}{2} - \frac{3}{1}$

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{15}{2} - 1 \cdot 3$

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15}{2} - 3$

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

在公分母上合并分子。

$\frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

化简分子。

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将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{15 - 6}{2}$

从 $15$ 中减去 $6$ 。

$\frac{9}{2}$

Step 4

微积分学 示例

微积分学示例