微积分学示例

$\sum_{i = 3}^{7} 2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$

Step 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

Step 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{2 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

化简。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$r = \frac{2 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

约去 ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ 和 ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ 的公因数。

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从 ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ 。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

约去公因数。

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乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

约去公因数。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

用 ${(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

化简每一项。

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运用分配律。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - i - - 1}$

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - i + 1}$

将 $i$ 和 $0$ 相加。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i + 1}$

从 $i$ 中减去 $i$ 。

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

化简。

$r = \frac{2}{3}$

Step 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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将 $3$ 代入 $2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ 以替换 $i$ 。

$a = 2 {(\frac{2}{3})}^{3 - 1}$

化简。

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从 $3$ 中减去 $1$ 。

$a = 2 {(\frac{2}{3})}^{2}$

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$a = 2 \frac{2^{2}}{3^{2}}$

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = 2 \frac{4}{3^{2}}$

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = 2 (\frac{4}{9})$

乘以 $2 (\frac{4}{9})$ 。

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组合 $2$ 和 $\frac{4}{9}$ 。

$a = \frac{2 \cdot 4}{9}$

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{8}{9}$

Step 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}}$

Step 5

化简。

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将复分数的分子和分母乘以 $3$ 。

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将 $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8}{9} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}})$

合并。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

运用分配律。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

约去 $3$ 的公因数。

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将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

约去公因数。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

重写表达式。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 - 2}$

化简分子。

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将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 - 2}$

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{2^{5}}{3^{5}})}{3 \cdot 1 - 2}$

约去 $3$ 的公因数。

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将 $- \frac{2^{5}}{3^{5}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 2}$

从 $3^{5}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3 \cdot 3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

约去公因数。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3 \cdot 3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

重写表达式。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 2^{5}}{3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 32}{3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

将负号移到分数的前面。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{81}{81}$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot \frac{81}{81} - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

组合 $3$ 和 $\frac{81}{81}$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 81}{81} - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

在公分母上合并分子。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 81 - 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

化简分子。

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将 $3$ 乘以 $81$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{243 - 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

从 $243$ 中减去 $32$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

化简分母。

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将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{3 - 2}$

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{1}$

用 $\frac{211}{81}$ 除以 $1$ 。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{211}{81}$

乘以 $\frac{8}{9} \cdot \frac{211}{81}$ 。

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将 $\frac{8}{9}$ 乘以 $\frac{211}{81}$ 。

$\frac{8 \cdot 211}{9 \cdot 81}$

将 $8$ 乘以 $211$ 。

$\frac{1688}{9 \cdot 81}$

将 $9$ 乘以 $81$ 。

$\frac{1688}{729}$

Step 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1688}{729}$

小数形式：

$2.31550068 \dots$

带分数形式：

$2 \frac{230}{729}$

微积分学 示例

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