微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{50} n (4 n + 3)$

解题步骤 1

化简总和。

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运用分配律。

$n (4 n) + n \cdot 3$

使用乘法的交换性质重写。

$4 n \cdot n + n \cdot 3$

将 $3$ 移到 $n$ 的左侧。

$4 n \cdot n + 3 \cdot n$

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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移动 $n$ 。

$4 (n \cdot n) + 3 \cdot n$

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$4 n^{2} + 3 \cdot n$

$4 n^{2} + 3 n$

重写该总和。

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n = 4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2} + 3 \sum_{n = 1}^{50} n$

解题步骤 3

计算 $4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2}$ 。

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度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

化简。

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化简分子。

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将 $50$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

合并指数。

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将 $50$ 乘以 $51$ 。

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

将 $2$ 乘以 $50$ 。

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

将 $100$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

化简项。

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将 $2550$ 乘以 $101$ 。

$4 (\frac{257550}{6})$

约去 $2$ 的公因数。

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从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{257550}{6}$

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

重写表达式。

$2 (\frac{257550}{3})$

$2 (\frac{257550}{3})$

组合 $2$ 和 $\frac{257550}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

化简表达式。

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将 $2$ 乘以 $257550$ 。

$\frac{515100}{3}$

用 $515100$ 除以 $3$ 。

$171700$

$171700$

$171700$

$171700$

$171700$

解题步骤 4

计算 $3 \sum_{n = 1}^{50} n$ 。

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度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(3) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

化简。

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将 $50$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{50 \cdot 51}{2}$

将 $50$ 乘以 $51$ 。

$3 (\frac{2550}{2})$

用 $2550$ 除以 $2$ 。

$3 \cdot 1275$

将 $3$ 乘以 $1275$ 。

$3825$

$3825$

$3825$

解题步骤 5

将求和的总和相加。

$171700 + 3825$

解题步骤 6

将 $171700$ 和 $3825$ 相加。

$175525$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$