微积分学示例

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x$

Step 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

点击获取更多步骤...

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$2 x - x^{2} = x$

求解 $x$ 的 $2 x - x^{2} = x$ 。

点击获取更多步骤...

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 x - x^{2} - x = 0$

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$- x^{2} + x = 0$

从 $- x^{2} + x$ 中分解出因数 $- x$ 。

点击获取更多步骤...

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x + x = 0$

将 $x$ 重写为 $1 x$ 。

$- x \cdot x + 1 x = 0$

从 $1 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

从 $- x (x) - x (- 1)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (x - 1) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

最终解为使 $- x (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1$

当 $x = 0$ 时计算 $y$ 。

点击获取更多步骤...

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

去掉圆括号。

$y = 0$

当 $x = 1$ 时计算 $y$ 。

点击获取更多步骤...

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = 1$

去掉圆括号。

$y = 1$

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Step 2

将 $2 x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$y = - x^{2} + 2 x$

Step 3

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x d x$

Step 4

用积分求 $0$ 和 $1$ 之间的面积。

点击获取更多步骤...

将积分合并为一个单积分。

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x) d x$

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$\int_{0}^{1} - x^{2} + x d x$

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

代入并化简。

点击获取更多步骤...

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

化简。

点击获取更多步骤...

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

约去公因数。

点击获取更多步骤...

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

约去公因数。

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

重写表达式。

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{1}{3} - 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0$

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 + 3}{6}$

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{6}$

Step 5

微积分学 示例

微积分学示例