微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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使用常数相乘法则求微分。

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因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x - 7}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

将 $\frac{1}{x - 7}$ 重写为 ${(x - 7)}^{- 1}$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x - 7$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 7$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

使用 $x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

求微分。

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将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

根据加法法则， $x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

化简表达式。

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将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

化简。

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使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

合并项。

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组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ 。

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

将分子设为等于零。

$3 = 0$

因为 $3 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

Step 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

Step 4

求导数无意义的位置。

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将 $\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 7)}^{2} = 0$

求解 $x$ 。

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将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

Step 5

求出让导数 $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ 。

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

将区间 $(- \infty, 7)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

化简结果。

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化简分母。

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从 $6$ 中减去 $7$ 。

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

化简表达式。

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用 $3$ 除以 $1$ 。

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (6) = - 3$

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

在 $x = 6$ 处，导数为 $- 3$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 7)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 7)$ 上递减

Step 7

将区间 $(7, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

化简结果。

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化简分母。

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从 $8$ 中减去 $7$ 。

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

一的任意次幂都为一。

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

化简表达式。

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用 $3$ 除以 $1$ 。

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (8) = - 3$

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

在 $x = 8$ 处，导数为 $- 3$ 。由于其值为负，函数在 $(7, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(7, \infty)$ 上递减

Step 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, 7), (7, \infty)$

Step 9

微积分学 示例

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