微积分学示例

$e^{7 x}$

Step 1

将 $e^{7 x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{7 x}$

Step 2

求一阶导数。

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求一阶导数。

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使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (7 x)$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (7 x)$

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = e^{7 x} \frac{d}{d x} (7 x)$

求微分。

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因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = e^{7 x} (7 \cdot 1)$

化简表达式。

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将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = e^{7 x} \cdot 7$

将 $7$ 移到 $e^{7 x}$ 的左侧。

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $7 e^{7 x}$ 。

$7 e^{7 x}$

Step 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $7 e^{7 x} = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$7 e^{7 x} = 0$

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (7 e^{7 x}) = \ln (0)$

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

$7 e^{7 x} = 0$ 无解

无解

Step 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

Step 5

不存在使导数 $f' (x) = 7 e^{7 x}$ 等于 $0$ 或未定义的点。检查函数 $f (x) = e^{7 x}$ 的为递增还是递减的区间为 $(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

Step 6

将任意数（例如，从区间 $(- \infty, \infty)$ 中的 $1$ ）代入导数 $f' (x) = 7 e^{7 x}$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增。

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使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 7 e^{7 (1)}$

化简结果。

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将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 7 e^{7}$

最终答案为 $7 e^{7}$ 。

$7 e^{7}$

Step 7

将 $1$ 代入 $f' (x) = 7 e^{7 x}$ 得到的结果为 $7 e^{7}$ ，因为是正数，所以其图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 递增。

因为 $7 e^{7 x} > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \infty)$ 上递增

Step 8

在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增意味着该函数恒为递增。

总是递增

Step 9

微积分学 示例

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