微积分学示例

$3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 1

将 $3 x^{2} - 6 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 2

求一阶导数。

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求一阶导数。

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根据加法法则， $3 x^{2} - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 x - 6$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x - 6$ 。

$6 x - 6$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x - 6 = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x - 6 = 0$

在等式两边都加上 $6$ 。

$6 x = 6$

将 $6 x = 6$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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将 $6 x = 6$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

化简左边。

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约去 $6$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{6}{6}$

化简右边。

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用 $6$ 除以 $6$ 。

$x = 1$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = 6 x - 6$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ 。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 6 (0) - 6$

化简结果。

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将 $6$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 6$

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f' (0) = - 6$

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

在 $x = 0$ 处，导数为 $- 6$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 6 (2) - 6$

化简结果。

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将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = 12 - 6$

从 $12$ 中减去 $6$ 。

$f' (2) = 6$

最终答案为 $6$ 。

$6$

在 $x = 2$ 处，导数为 $6$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(1, \infty)$

递减于： $(- \infty, 1)$

解题步骤 9

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