微积分学示例

$p (t) = t^{6} - \frac{t^{5}}{2} - t$

解题步骤 1

通过计算导数 $p (t)$ 的不定积分求函数 $P (t)$ 。

$P (t) = \int p (t) d t$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$P (t) = \int t^{6} - \frac{t^{5}}{2} - t d t$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int t^{6} d t + \int - \frac{t^{5}}{2} d t + \int - t d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{6}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{7} t^{7}$ 。

$\frac{1}{7} t^{7} + C + \int - \frac{t^{5}}{2} d t + \int - t d t$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} t^{7} + C - \int \frac{t^{5}}{2} d t + \int - t d t$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} t^{7} + C - (\frac{1}{2} \int t^{5} d t) + \int - t d t$

解题步骤 7

根据幂法则， $t^{5}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{6} t^{6}$ 。

$\frac{1}{7} t^{7} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} t^{6} + C) + \int - t d t$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} t^{7} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} t^{6} + C) - \int t d t$

解题步骤 9

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\frac{1}{7} t^{7} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} t^{6} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{t^{7}}{7} - \frac{t^{6}}{12} - (\frac{1}{2} t^{2}) + C$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{7}}{7} - \frac{t^{6}}{12} - \frac{t^{2}}{2} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{1}{7} t^{7} - \frac{1}{12} t^{6} - \frac{1}{2} t^{2} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $p (t) = t^{6} - \frac{t^{5}}{2} - t$ 的不定积分。

$P (t) =$ $\frac{1}{7} t^{7} - \frac{1}{12} t^{6} - \frac{1}{2} t^{2} + C$

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