微积分学示例

$f (x) = \tan (x)$

Step 1

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

Step 2

求二阶导数。

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使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))$

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Step 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

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