微积分学示例

$16 x^{2} + 25 y^{2} = 400$

Step 1

求椭圆的标准形式。

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将每一项除以 $400$ 以使方程右边等于一。

$\frac{16 x^{2}}{400} + \frac{25 y^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Step 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 5$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Step 4

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}$

化简。

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对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\sqrt{25 - 16}$

从 $25$ 中减去 $16$ 。

$\sqrt{9}$

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{3^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$3$

Step 5

求焦点。

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双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + 3, 0)$

化简。

$(3, 0)$

椭圆的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (3), 0)$

化简。

$(- 3, 0)$

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Step 6

微积分学 示例

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