微积分学示例

$\ln (x^{2} + 16)$

解题步骤 1

将 $\ln (x^{2} + 16)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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求二阶导数。

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求一阶导数。

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使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 16$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 16$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

使用 $x^{2} + 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

求微分。

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根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (16))$

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + 0)$

合并分数。

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将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x)$

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 16}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 16} \cdot x$

组合 $\frac{2}{x^{2} + 16}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

求二阶导数。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 16$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

求微分。

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使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

将 $x^{2} + 16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

化简表达式。

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将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

组合 $2$ 和 $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

化简每一项。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ 。

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将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

将分子设为等于零。

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

求解 $x$ 的方程。

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从等式两边同时减去 $32$ 。

$- 2 x^{2} = - 32$

将 $- 2 x^{2} = - 32$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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将 $- 2 x^{2} = - 32$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

化简左边。

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约去 $- 2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

化简右边。

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用 $- 32$ 除以 $- 2$ 。

$x^{2} = 16$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

化简 $\pm \sqrt{16}$ 。

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将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 4$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 4$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 4$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 4, - 4$

解题步骤 3

求 $f (x) = \ln (x^{2} + 16)$ 的定义域。

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将 $\ln (x^{2} + 16)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} + 16 > 0$

求解 $x$ 。

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从不等式两边同时减去 $16$ 。

$x^{2} > - 16$

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 4)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

化简结果。

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化简分子。

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对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

将 $- 2$ 乘以 $36$ 。

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

将 $- 72$ 和 $32$ 相加。

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

化简分母。

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对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

将 $36$ 和 $16$ 相加。

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

对 $52$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{2704}$

通过约去公因数来化简表达式。

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约去 $- 40$ 和 $2704$ 的公因数。

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从 $- 40$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

约去公因数。

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从 $2704$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

约去公因数。

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

重写表达式。

$f'' (- 6) = \frac{- 5}{338}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 6) = - \frac{5}{338}$

最终答案为 $- \frac{5}{338}$ 。

$- \frac{5}{338}$

图像在区间 $(- \infty, - 4)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 6)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 4)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(- 4, 4)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 32}{{({(0)}^{2} + 16)}^{2}}$

化简结果。

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化简分子。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

将 $0$ 和 $32$ 相加。

$f'' (0) = \frac{32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

化简分母。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{32}{{(0 + 16)}^{2}}$

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$f'' (0) = \frac{32}{16^{2}}$

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{32}{256}$

约去 $32$ 和 $256$ 的公因数。

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从 $32$ 中分解出因数 $32$ 。

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{256}$

约去公因数。

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从 $256$ 中分解出因数 $32$ 。

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{1}{8}$

最终答案为 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{1}{8}$

图像在区间 $(- 4, 4)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 4, 4)$ 上为向上凹

解题步骤 7

将区间 $(4, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 32}{{({(6)}^{2} + 16)}^{2}}$

化简结果。

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化简分子。

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对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

将 $- 2$ 乘以 $36$ 。

$f'' (6) = \frac{- 72 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

将 $- 72$ 和 $32$ 相加。

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

化简分母。

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对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

将 $36$ 和 $16$ 相加。

$f'' (6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

对 $52$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{- 40}{2704}$

通过约去公因数来化简表达式。

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约去 $- 40$ 和 $2704$ 的公因数。

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从 $- 40$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

约去公因数。

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从 $2704$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

约去公因数。

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

重写表达式。

$f'' (6) = \frac{- 5}{338}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (6) = - \frac{5}{338}$

最终答案为 $- \frac{5}{338}$ 。

$- \frac{5}{338}$

图像在区间 $(4, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (6)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(4, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 4)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 4, 4)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(4, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 9

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