微积分学示例

$y = \sqrt{64 - x^{2}}$ , $y = 0$

Step 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\sqrt{64 - x^{2}} = 0$

求解 $x$ 的 $\sqrt{64 - x^{2}} = 0$ 。

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要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{64 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

化简方程的两边。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{64 - x^{2}}$ 重写成 ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

化简左边。

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化简 ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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将 ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

重写表达式。

${(64 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

化简。

$64 - x^{2} = 0^{2}$

化简右边。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$64 - x^{2} = 0$

求解 $x$ 。

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从等式两边同时减去 $64$ 。

$- x^{2} = - 64$

将 $- x^{2} = - 64$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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将 $- x^{2} = - 64$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

化简左边。

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将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

化简右边。

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用 $- 64$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 64$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

化简 $\pm \sqrt{64}$ 。

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将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 8$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 8$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 8$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 8, - 8$

代入 $8$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

Step 2

化简 $\sqrt{64 - x^{2}}$ 。

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将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$y = \sqrt{8^{2} - x^{2}}$

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 8$ 和 $b = x$ 。

$y = \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Step 3

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x - \int_{- 8}^{8} 0 d x$

Step 4

用积分求 $- 8$ 和 $8$ 之间的面积。

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将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} - (0) d x$

从 $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 中减去 $0$ 。

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x$

配方。

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化简表达式。

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使用 FOIL 方法展开 $(8 + x) (8 - x)$ 。

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运用分配律。

$8 (8 - x) + x (8 - x)$

运用分配律。

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)$

运用分配律。

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

化简并合并同类项。

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化简每一项。

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将 $8$ 乘以 $8$ 。

$64 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$64 - 8 x + x \cdot 8 + x (- x)$

将 $8$ 移到 $x$ 的左侧。

$64 - 8 x + 8 \cdot x + x (- x)$

使用乘法的交换性质重写。

$64 - 8 x + 8 x - x \cdot x$

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)$

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$64 - 8 x + 8 x - x^{2}$

将 $- 8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$64 + 0 - x^{2}$

将 $64$ 和 $0$ 相加。

$64 - x^{2}$

将 $64$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + 64$

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 64$

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

化简右边。

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约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

移动 $\frac{0}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 0$

将 $- 1 \cdot 0$ 重写为 $- 0$ 。

$d = - 0$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$d = 0$

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 64 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

化简右边。

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化简每一项。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = 64 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 64 - \frac{0}{- 4}$

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$e = 64 - 0$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = 64 + 0$

将 $64$ 和 $0$ 相加。

$e = 64$

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x + 0)}^{2} + 64$ 。

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 64} d x$

使 $u_{1} = x + 0$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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设 $u_{1} = x + 0$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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对 $x + 0$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

根据加法法则， $x + 0$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

将下限代入替换 $u_{1} = x + 0$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 8 + 0$

将 $- 8$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = - 8$

将上限代入替换 $u_{1} = x + 0$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 8 + 0$

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$u_{upper} = 8$

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 8 u_{upper} = 8$

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 64} d u_{1}$

使 $u_{1} = 8 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 8 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $8 \cos (t)$ 为正数。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64} (8 \cos (t)) d t$

化简项。

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化简 $\sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64}$ 。

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化简每一项。

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对 $8 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (8^{2} \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (64 \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 64 \sin^{2} (t) + 64} (8 \cos (t)) d t$

将 $- 64 \sin^{2} (t)$ 和 $64$ 重新排序。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

从 $64$ 中分解出因数 $64$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

从 $- 64 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $64$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

从 $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $64$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

使用勾股恒等式。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

将 $64 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(8 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

化简。

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将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

由于 $64$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $64$ 移到积分外。

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$64 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

化简。

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组合 $\frac{1}{2}$ 和 $64$ 。

$\frac{64}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

约去 $64$ 和 $2$ 的公因数。

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从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

约去公因数。

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从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

重写表达式。

$\frac{32}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

用 $32$ 除以 $1$ 。

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

将单个积分拆分为多个积分。

$32 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

应用常数不变法则。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

使 $u_{2} = 2 t$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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设 $u_{2} = 2 t$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

将下限代入替换 $u_{2} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

约去 $2$ 的公因数。

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将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

重写表达式。

$u_{lower} = - π$

将上限代入替换 $u_{2} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

重写表达式。

$u_{upper} = π$

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - π u_{upper} = π$

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ 。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

代入并化简。

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计算 $t$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $π$ 处和在 $- π$ 处的值。

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

化简。

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在公分母上合并分子。

$32 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

用 $π$ 除以 $1$ 。

$32 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$32 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

化简。

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化简分子。

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在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$32 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$32 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$32 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$32 (π + \frac{0 - 0}{2})$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$32 (π + \frac{0 + 0}{2})$

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$32 (π + \frac{0}{2})$

用 $0$ 除以 $2$ 。

$32 (π + 0)$

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$32 π$

Step 5

微积分学 示例

微积分学示例