微积分学示例

$f (x) = x e^{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则求微分。

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使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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根据加法法则， $x e^{x} + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

化简。

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将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

重新排序项。

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

将 $e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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根据加法法则， $x e^{x} + 2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f''' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

化简。

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将 $e^{x}$ 和 $2 e^{x}$ 相加。

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

重新排序项。

$f''' (x) = e^{x} x + 3 e^{x}$

将 $e^{x} x + 3 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

解题步骤 4

$f (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $x e^{x} + 3 e^{x}$ 。

$x e^{x} + 3 e^{x}$

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