微积分学示例

$x = 4 \sqrt{3 y}$ , $x = 0$ , $y = 3$

Step 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = 3$ 和 $g (x) = \frac{x^{2}}{48}$ 时， $V = π \int_{0}^{12} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

Step 2

化简每一项。

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对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = 9 - {(\frac{x^{2}}{48})}^{2}$

对 $\frac{x^{2}}{48}$ 运用乘积法则。

$V = 9 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{48^{2}}$

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = 9 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{48^{2}}$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = 9 - \frac{x^{4}}{48^{2}}$

对 $48$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = 9 - \frac{x^{4}}{2304}$

Step 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{12} 9 d x + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 4

应用常数不变法则。

$V = π (9 x]_{0}^{12} + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \int_{0}^{12} \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 6

由于 $\frac{1}{2304}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2304}$ 移到积分外。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - (\frac{1}{2304} \cdot \int_{0}^{12} x^{4} d x))$

Step 7

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{12})$

Step 8

化简答案。

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化简。

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组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12})$

组合 $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}$ 和 $\frac{1}{2304}$ 。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

代入并化简。

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计算 $9 x$ 在 $12$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $12$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

化简。

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将 $9$ 乘以 $12$ 。

$V = π (108 - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$V = π (108 + 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

将 $108$ 和 $0$ 相加。

$V = π (108 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

对 $12$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{5}}{2304})$

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{2304})$

约去公因数。

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从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

约去公因数。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

重写表达式。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{1}}{2304})$

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - 0}{2304})$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} + 0}{2304})$

将 $\frac{248832}{5}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5}}{2304})$

将 $\frac{\frac{248832}{5}}{2304}$ 重写为乘积形式。

$V = π (108 - (\frac{248832}{5} \cdot \frac{1}{2304}))$

将 $\frac{248832}{5}$ 乘以 $\frac{1}{2304}$ 。

$V = π (108 - \frac{248832}{5 \cdot 2304})$

将 $5$ 乘以 $2304$ 。

$V = π (108 - \frac{248832}{11520})$

约去 $248832$ 和 $11520$ 的公因数。

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从 $248832$ 中分解出因数 $2304$ 。

$V = π (108 - \frac{2304 (108)}{11520})$

约去公因数。

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从 $11520$ 中分解出因数 $2304$ 。

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

约去公因数。

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

重写表达式。

$V = π (108 - \frac{108}{5})$

要将 $108$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (108 \cdot \frac{5}{5} - \frac{108}{5})$

组合 $108$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{108 \cdot 5}{5} - \frac{108}{5})$

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{108 \cdot 5 - 108}{5})$

化简分子。

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将 $108$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{540 - 108}{5})$

从 $540$ 中减去 $108$ 。

$V = π (\frac{432}{5})$

组合 $π$ 和 $\frac{432}{5}$ 。

$V = \frac{π \cdot 432}{5}$

将 $432$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{432 π}{5}$

Step 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{432 π}{5}$

小数形式：

$V = 271.43360527 \dots$

Step 10

微积分学 示例

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