微积分学示例

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 1

将 $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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求二阶导数。

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求一阶导数。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 4})$

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

求微分。

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使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

将 $x^{2} - 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

化简表达式。

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将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

组合 $2$ 和 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

化简。

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运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

化简每一项。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

求二阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 2 x^{2} - 8$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

求微分。

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将 ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

根据加法法则， $- 2 x^{2} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $- 4 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用 $x^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

求微分。

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将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简表达式。

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将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $2$ 移到 $x^{2} - 4$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) (2 \cdot ((x^{2} - 4) x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简分子。

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化简每一项。

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使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 4)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 ${(x^{2} - 4)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 4) (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ 。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简并合并同类项。

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化简每一项。

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通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $- 4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简。

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将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简。

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通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{1 + 2} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简每一项。

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将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2 + 1} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用 FOIL 方法展开 $(8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)$ 。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} (x^{3} - 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简并合并同类项。

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化简每一项。

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通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{2} x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{3}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $- 4$ 乘以 $32$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $- 32 x^{3}$ 和 $32 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 0 - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $8 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $- 4 x^{5}$ 和 $8 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

从 $- 64 x$ 中减去 $128 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简分子。

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从 $4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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从 $4 x^{5}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

从 $32 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

从 $- 192 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

从 $4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2})$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

从 $4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 8 u - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用 AC 法来对 $u^{2} + 8 u - 48$ 进行因式分解。

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思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 48$ ，和为 $8$ 。

$- 4, 12$

使用这些整数书写分数形式。

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 4) (u + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

化简分母。

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将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}}$

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}}$

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

约去 $x + 2$ 和 ${(x + 2)}^{4}$ 的公因数。

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从 $4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

约去公因数。

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从 ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

约去 $x - 2$ 和 ${(x - 2)}^{4}$ 的公因数。

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从 $(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

约去公因数。

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从 ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ 。

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ 。

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将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

将分子设为等于零。

$4 x (x^{2} + 12) = 0$

求解 $x$ 的方程。

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如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

将 $x^{2} + 12$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x^{2} + 12$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 12 = 0$

求解 $x$ 的 $x^{2} + 12 = 0$ 。

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从等式两边同时减去 $12$ 。

$x^{2} = - 12$

取方程两边的平方根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 12}$

化简 $\pm \sqrt{- 12}$ 。

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将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i \sqrt{3}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i \sqrt{3}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

最终解为使 $4 x (x^{2} + 12) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

求 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$ 的定义域。

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将 $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 4 = 0$

求解 $x$ 。

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在等式两边都加上 $4$ 。

$x^{2} = 4$

取方程两边的平方根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2, - 2}$

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2, - 2}$

Step 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 5

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = \frac{4 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

化简结果。

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将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

化简分母。

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将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

从 $- 4$ 中减去 $2$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

化简分子。

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对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 (16 + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

将 $16$ 和 $12$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{- 8 \cdot - 216}$

通过约去公因数来化简表达式。

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将 $- 8$ 乘以 $- 216$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{1728}$

将 $- 16$ 乘以 $28$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 448}{1728}$

约去 $- 448$ 和 $1728$ 的公因数。

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从 $- 448$ 中分解出因数 $64$ 。

$f'' (- 4) = \frac{64 (- 7)}{1728}$

约去公因数。

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从 $1728$ 中分解出因数 $64$ 。

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

约去公因数。

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

重写表达式。

$f'' (- 4) = \frac{- 7}{27}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 4) = - \frac{7}{27}$

最终答案为 $- \frac{7}{27}$ 。

$- \frac{7}{27}$

图像在区间 $(- \infty, - 2)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向下凹

Step 6

将区间 $(- 2, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1) = \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{((- 1) + 2)}^{3} {((- 1) - 2)}^{3}}$

化简结果。

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将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(- 1 + 2)}^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

化简分母。

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将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 3)}^{3}}$

一的任意次幂都为一。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 {(- 3)}^{3}}$

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot - 27}$

将 $- 27$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{- 27}$

化简分子。

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对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 (1 + 12)}{- 27}$

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 \cdot 13}{- 27}$

通过约去公因数来化简表达式。

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将 $- 4$ 乘以 $13$ 。

$f'' (- 1) = \frac{- 52}{- 27}$

将两个负数相除得到一个正数。

$f'' (- 1) = \frac{52}{27}$

最终答案为 $\frac{52}{27}$ 。

$\frac{52}{27}$

图像在区间 $(- 2, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 1)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 2, 0)$ 上为向上凹

Step 7

将区间 $(0, 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1) = \frac{4 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{((1) + 2)}^{3} {((1) - 2)}^{3}}$

化简结果。

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将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{{(1 + 2)}^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

化简分母。

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将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(- 1)}^{3}}$

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 {(- 1)}^{3}}$

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 \cdot - 1}$

化简分子。

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一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = \frac{4 (1 + 12)}{27 \cdot - 1}$

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{27 \cdot - 1}$

化简表达式。

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将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{- 27}$

将 $4$ 乘以 $13$ 。

$f'' (1) = \frac{52}{- 27}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (1) = - \frac{52}{27}$

最终答案为 $- \frac{52}{27}$ 。

$- \frac{52}{27}$

图像在区间 $(0, 2)$ 上向下凹，因为 $f'' (1)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, 2)$ 上为向下凹

Step 8

将区间 $(2, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = \frac{4 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

化简结果。

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将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

化简分母。

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将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 2^{3}}$

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 8}$

化简分子。

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对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{16 (16 + 12)}{216 \cdot 8}$

将 $16$ 和 $12$ 相加。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{216 \cdot 8}$

通过约去公因数来化简表达式。

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将 $216$ 乘以 $8$ 。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{1728}$

将 $16$ 乘以 $28$ 。

$f'' (4) = \frac{448}{1728}$

约去 $448$ 和 $1728$ 的公因数。

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从 $448$ 中分解出因数 $64$ 。

$f'' (4) = \frac{64 (7)}{1728}$

约去公因数。

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从 $1728$ 中分解出因数 $64$ 。

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

约去公因数。

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

重写表达式。

$f'' (4) = \frac{7}{27}$

最终答案为 $\frac{7}{27}$ 。

$\frac{7}{27}$

图像在区间 $(2, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, \infty)$ 上为向上凹

Step 9

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 2, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, 2)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, \infty)$ 上为向上凹

Step 10

微积分学 示例

微积分学示例