微积分学示例

$y = \frac{1}{e^{x} - 1}$

Step 1

求在何处表达式 $\frac{1}{e^{x} - 1}$ 无定义。

$x = 0$

Step 2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{x} - 1}$ 趋于 $0$ 。

$0$

Step 3

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{x} - 1}$ 以求水平渐近线。

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计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 1}$

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 1}$

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 1}$

因为指数 $x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{0 - lim_{x \to - \infty} 1}$

计算极限值。

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计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

化简答案。

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化简分母。

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将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{0 - 1}$

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{- 1}$

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$- 1$

Step 4

列出水平渐近线：

$y = 0, - 1$

Step 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

Step 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = 0, - 1$

不存在斜渐近线

Step 7

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