微积分学示例

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{3} - 8 = 0$

求解 $x$ 的 $x^{3} - 8 = 0$ 。

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在等式两边都加上 $8$ 。

$x^{3} = 8$

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{3} - 8 = 0$

对方程左边进行因式分解。

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将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x^{3} - 2^{3} = 0$

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

化简。

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将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ 。

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使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

化简。

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化简分子。

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对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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化简分子。

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对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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化简分子。

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对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

最终解为使 $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

列出所有解。

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

用积分求 $1$ 和 $3$ 之间的面积。

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用积分求 $1$ 和 $3$ 之间的面积。

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将积分合并为一个单积分。

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

从 $0$ 中减去 $x^{3} - 8$ 。

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

运用分配律。

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

代入并化简。

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计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

计算 $8 x$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

化简。

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对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

在公分母上合并分子。

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

约去 $80$ 和 $4$ 的公因数。

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从 $80$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

约去公因数。

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从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

约去公因数。

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

重写表达式。

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

用 $20$ 除以 $1$ 。

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$- 20 + 24 - 8$

从 $24$ 中减去 $8$ 。

$- 20 + 16$

将 $- 20$ 和 $16$ 相加。

$- 4$

将积分合并为一个单积分。

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

从 $x^{3} - 8$ 中减去 $0$ 。

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

化简答案。

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组合 $\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ 和 $- 8 x]_{1}^{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

代入并化简。

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计算 $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

化简。

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对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $81$ 。

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

要将 $- 24$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

组合 $- 24$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

在公分母上合并分子。

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

化简分子。

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将 $- 24$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

从 $81$ 中减去 $96$ 。

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

一的任意次幂都为一。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

组合 $- 8$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

在公分母上合并分子。

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

化简分子。

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将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

从 $1$ 中减去 $32$ 。

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

将 $\frac{31}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

在公分母上合并分子。

$\frac{- 15 + 31}{4}$

将 $- 15$ 和 $31$ 相加。

$\frac{16}{4}$

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

约去公因数。

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从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

重写表达式。

$\frac{4}{1}$

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4$

Step 4

微积分学 示例

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