微积分学示例

$f (x) = x^{4}$

Step 1

求二阶导数。

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使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3}$

求二阶导数。

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因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2}$

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2}$ 。

$12 x^{2}$

Step 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} = 0$ 。

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将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} = 0$

将 $12 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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将 $12 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

化简左边。

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约去 $12$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{12}$

化简右边。

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用 $0$ 除以 $12$ 。

$x^{2} = 0$

取方程两边的平方根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

Step 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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将 $0$ 代入 $f (x) = x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4}$

化简结果。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0$

最终答案为 $0$ 。

$0$

通过将 $0$ 代入 $f (x) = x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

Step 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

化简结果。

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对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

将 $12$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.12$

最终答案为 $0.12$ 。

$0.12$

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $0.12$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

Step 6

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

化简结果。

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对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

将 $12$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (0.1) = 0.12$

最终答案为 $0.12$ 。

$0.12$

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $0.12$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

Step 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。图像中没有满足这些要求的点。

不存在拐点

微积分学 示例

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