微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

求微分。

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使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

将 $x^{2} - 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

化简表达式。

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将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 。

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

将分子设为等于零。

$- x^{2} - 4 = 0$

求解 $x$ 的方程。

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在等式两边都加上 $4$ 。

$- x^{2} = 4$

将 $- x^{2} = 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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将 $- x^{2} = 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

化简左边。

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将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

化简右边。

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用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = - 4$

取方程两边的平方根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

Step 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

Step 4

求导数无意义的位置。

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将 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

求解 $x$ 。

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对方程左边进行因式分解。

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将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

最终解为使 ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2$

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

Step 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Step 6

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = \frac{- {(- 3)}^{2} - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

化简结果。

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化简分子。

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对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f' (- 3) = \frac{- 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

从 $- 9$ 中减去 $4$ 。

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

化简分母。

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对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$f' (- 3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{- 13}{25}$

将负号移到分数的前面。

$f' (- 3) = - \frac{13}{25}$

最终答案为 $- \frac{13}{25}$ 。

$- \frac{13}{25}$

在 $x = - 3$ 处，导数为 $- \frac{13}{25}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 2)$ 上递减

Step 7

将区间 $(- 2, 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 4}{{({(0)}^{2} - 4)}^{2}}$

化简结果。

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化简分子。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{- 0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

化简分母。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0 - 4)}^{2}}$

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$f' (0) = \frac{- 4}{{(- 4)}^{2}}$

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0) = \frac{- 4}{16}$

通过约去公因数来化简表达式。

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约去 $- 4$ 和 $16$ 的公因数。

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从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (0) = \frac{4 (- 1)}{16}$

约去公因数。

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从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

约去公因数。

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

重写表达式。

$f' (0) = \frac{- 1}{4}$

将负号移到分数的前面。

$f' (0) = - \frac{1}{4}$

最终答案为 $- \frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{4}$

在 $x = 0$ 处，导数为 $- \frac{1}{4}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 2, 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2, 2)$ 上递减

Step 8

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = \frac{- {(3)}^{2} - 4}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

化简结果。

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化简分子。

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对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f' (3) = \frac{- 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

从 $- 9$ 中减去 $4$ 。

$f' (3) = \frac{- 13}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

化简分母。

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对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$f' (3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = \frac{- 13}{25}$

将负号移到分数的前面。

$f' (3) = - \frac{13}{25}$

最终答案为 $- \frac{13}{25}$ 。

$- \frac{13}{25}$

在 $x = 3$ 处，导数为 $- \frac{13}{25}$ 。由于其值为负，函数在 $(2, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(2, \infty)$ 上递减

Step 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, - 2), (- 2, 2), (2, \infty)$

Step 10

微积分学 示例

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