微积分学示例

$y = x^{2}$ ; $[2, 4]$

Step 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{2} = 0$

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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取方程两边的平方根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(0, 0)$

Step 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{2}^{4} x^{2} d x - \int_{2}^{4} 0 d x$

Step 3

用积分求 $2$ 和 $4$ 之间的面积。

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将积分合并为一个单积分。

$\int_{2}^{4} x^{2} - (0) d x$

从 $x^{2}$ 中减去 $0$ 。

$\int_{2}^{4} x^{2} d x$

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$

代入并化简。

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计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

化简。

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对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8$

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{64}{3} - 8 (\frac{1}{3})$

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{- 8}{3}$

将负号移到分数的前面。

$\frac{64}{3} - \frac{8}{3}$

在公分母上合并分子。

$\frac{64 - 8}{3}$

从 $64$ 中减去 $8$ 。

$\frac{56}{3}$

Step 4

微积分学 示例

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