微积分学示例

$\sqrt{x^{2} - 1}$

Step 1

交换变量。

$x = \sqrt{y^{2} - 1}$

Step 2

求解 $y$ 。

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将方程重写为 $\sqrt{y^{2} - 1} = x$ 。

$\sqrt{y^{2} - 1} = x$

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = x^{2}$

化简方程的两边。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{2} - 1}$ 重写成 ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

化简左边。

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化简 ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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将 ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

重写表达式。

${(y^{2} - 1)}^{1} = x^{2}$

化简。

$y^{2} - 1 = x^{2}$

求解 $y$ 。

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在等式两边都加上 $1$ 。

$y^{2} = x^{2} + 1$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 4

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ 是否为 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 的反函数。

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反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 和 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

求 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 的值域。

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值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

Find the domain of the inverse.

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求 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 的定义域。

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将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} + 1 \geq 0$

求解 $x$ 。

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从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} \geq - 1$

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

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并集由包含在每一区间的所有元素组成。

$(- \infty, \infty)$

因为 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ 的定义域并不等于 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ 并非 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 的反函数。

不存在反函数

Step 5

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