微积分学示例

$\cos (\frac{x}{(2)})$

Step 1

将 $\cos (\frac{x}{(2)})$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cos (\frac{x}{(2)})$

Step 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \cos (\frac{x}{2}) d x$

Step 4

使 $u = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Step 5

化简。

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乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \cos (u) (1 \cdot 2) d u$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos (u) \cdot 2 d u$

将 $2$ 移到 $\cos (u)$ 的左侧。

$\int 2 \cos (u) d u$

Step 6

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \cos (u) d u$

Step 7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$2 (\sin (u) + C)$

Step 8

化简。

$2 \sin (u) + C$

Step 9

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Step 10

重新排序项。

$2 \sin (\frac{1}{2} x) + C$

Step 11

答案是函数 $f (x) = \cos (\frac{x}{2})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 \sin (\frac{1}{2} x) + C$

微积分学 示例

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