微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)}$

Step 1

计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

计算分子的极限值。

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计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

化简答案。

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将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

计算分母的极限值。

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将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (1)}$

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

Step 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Step 3

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Step 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} 1 x$

Step 5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} x$

Step 6

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1$

微积分学 示例

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