微积分学示例

$f (x) = \arctan (x)$

Step 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

重新排序项。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Step 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

将 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 重写为 ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

求微分。

点击获取更多步骤...

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

化简表达式。

点击获取更多步骤...

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

化简。

点击获取更多步骤...

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

合并项。

点击获取更多步骤...

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

组合 $x$ 和 $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Step 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例