微积分学示例

$f (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Step 1

求一阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

求微分。

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根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 相加。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

乘。

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将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

化简。

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运用分配律。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 + \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot (1 \cos (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

化简分子。

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化简每一项。

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将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

乘以 $- - \cos (x)$ 。

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将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

使用勾股恒等式。

$f' (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 2

求二阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

求微分。

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将 ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

乘。

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将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{{\sin (x)}^{2 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

通过提取公因式进行化简。

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将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) (\sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

从 $\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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从 $\sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

从 $- 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

从 $\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

约去公因数。

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从 $\sin^{4} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{3} (x)}$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos (x))) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cdot (1 \cos (x)) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

化简每一项。

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将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

乘以 $2 \cos (x) \cos (x)$ 。

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对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Step 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

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