微积分学示例

$\sin (\frac{x}{2})$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

求微分。

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因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

将 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

将分子设为等于零。

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

求解 $x$ 的方程。

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取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

化简右边。

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$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = π$

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

求解 $x$ 。

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等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

化简方程的两边。

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化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

重写表达式。

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

化简右边。

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化简 $2 (2 π - \frac{π}{2})$ 。

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要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

重写表达式。

$x = 2 π \cdot 2 - π$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = 4 π - π$

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = 3 π$

求 $\cos (\frac{x}{2})$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

$\cos (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

合并答案。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 3

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sin (\frac{x}{2})$ 。

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在 $x = π$ 处计算

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代入 $π$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{π}{2})$

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

在 $x = 3 π$ 处计算

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代入 $3 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{3 π}{2})$

化简。

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在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sin (\frac{π}{2})$

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

列出所有的点。

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ ，对于任意整数 $n$

Step 5

微积分学 示例

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