微积分学示例

$1 - 2 \sin (x)$

Step 1

将 $1 - 2 \sin (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Step 2

求一阶导数。

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求一阶导数。

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求微分。

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根据加法法则， $1 - 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

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因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

从 $0$ 中减去 $2 \cos (x)$ 。

$f' (x) = - 2 \cos (x)$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 \cos (x)$ 。

$- 2 \cos (x)$

Step 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 \cos (x) = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 \cos (x) = 0$

将 $- 2 \cos (x) = 0$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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将 $- 2 \cos (x) = 0$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

化简左边。

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约去 $- 2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

化简右边。

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用 $0$ 除以 $- 2$ 。

$\cos (x) = 0$

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

化简右边。

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$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

合并分数。

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组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

化简分子。

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将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

求 $\cos (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 4

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$\frac{π}{2} + π n$

Step 5

求出让导数 $f' (x) = - 2 \cos (x)$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 1 - 2 \sin (x)$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 6

将区间 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $\frac{π}{2} + π n - 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

最终答案为 $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ 。

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

化简。

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

在 $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ 处，导数为 $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ 上递减

Step 7

将区间 $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $\frac{π}{2} + π n + 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

最终答案为 $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ 。

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

化简。

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

在 $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ 处，导数为 $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 上递减

Step 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 9

微积分学 示例

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