微积分学示例

$\cos (\frac{2 x}{3})$

Step 1

将 $\cos (\frac{2 x}{3})$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cos (\frac{2 x}{3})$

Step 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Step 4

使 $u = \frac{2 x}{3}$ 。然后使 $d u = \frac{2}{3} d x$ ，以便 $\frac{3}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = \frac{2 x}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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对 $\frac{2 x}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 1$

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Step 5

化简。

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乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{2}{3}$ 。

$\int \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos (u) \frac{3}{2} d u$

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\int \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

将 $3$ 移到 $\cos (u)$ 的左侧。

$\int \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Step 6

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} \int \cos (u) d u$

Step 7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{3}{2} (\sin (u) + C)$

Step 8

化简。

$\frac{3}{2} \sin (u) + C$

Step 9

使用 $\frac{2 x}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} \sin (\frac{2 x}{3}) + C$

Step 10

重新排序项。

$\frac{3}{2} \sin (\frac{2}{3} x) + C$

Step 11

答案是函数 $f (x) = \cos (\frac{2 x}{3})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \sin (\frac{2}{3} x) + C$

微积分学 示例

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