微积分学示例

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 1

将 $\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Step 4

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Step 5

应用指数的基本规则。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

将负号移到分数的前面。

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Step 6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Step 7

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Step 8

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

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