微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}}$

Step 1

计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

计算分子的极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

化简答案。

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$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

计算分母的极限值。

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使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{3}}$

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

Step 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Step 3

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

根据加法法则， $\sin (x) - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{3 x^{2}}$

Step 4

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}}$

Step 5

运用洛必达法则。

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计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

计算分子的极限值。

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计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

化简答案。

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$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

计算分母的极限值。

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使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

根据加法法则， $- 1 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

从 $0$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{2 x}$

Step 6

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x}$

Step 7

运用洛必达法则。

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计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

计算分子的极限值。

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计算极限值。

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因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

化简答案。

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$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 0}{lim_{x \to 0} x}$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{1}$

用 $- \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \cos (x)$

Step 8

计算极限值。

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因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos (x)$

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 9

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (0)$

Step 10

化简答案。

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乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot - 1 \cos (0)$

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{6} \cdot - 1 \cos (0)$

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{6} \cos (0)$

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{6} \cos (0)$

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{1}{6} \cdot 1$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{6}$

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