微积分学示例

$\cos (θ) = \frac{5}{11}$

Step 1

使用余弦的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\cos (θ) = \frac{相邻}{斜边}$

Step 2

求单位圆三角形的对边。因为已知邻边和斜边，可以使用勾股定理求第三边。

$取反 = \sqrt{{斜边}^{2} - {相邻}^{2}}$

Step 3

替换方程中的已知值。

$取反 = \sqrt{{(11)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Step 4

化简根式内部。

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对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

对边 $= \sqrt{121 - {(5)}^{2}}$

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

对边 $= \sqrt{121 - 1 \cdot 25}$

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

对边 $= \sqrt{121 - 25}$

从 $121$ 中减去 $25$ 。

对边 $= \sqrt{96}$

将 $96$ 重写为 $4^{2} \cdot 6$ 。

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从 $96$ 中分解出因数 $16$ 。

对边 $= \sqrt{16 (6)}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

对边 $= \sqrt{4^{2} \cdot 6}$

从根式下提出各项。

对边 $= 4 \sqrt{6}$

Step 5

求正弦值。

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使用正弦的定义求 $\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{11}$

Step 6

求正切值。

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使用正切的定义求 $\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{5}$

Step 7

求余切值。

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使用余切的定义求 $\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{5}{4 \sqrt{6}}$

化简 $\cot (θ)$ 的值。

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将 $\frac{5}{4 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{5}{4 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

合并和化简分母。

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将 $\frac{5}{4 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

移动 $\sqrt{6}$ 。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{2}}$

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

重写表达式。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

计算指数。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{24}$

Step 8

求正割值。

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使用正割的定义求 $\sec (θ)$ 的值。

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{11}{5}$

Step 9

求余割值。

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使用余割的定义求 $\csc (θ)$ 的值。

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{11}{4 \sqrt{6}}$

化简 $\csc (θ)$ 的值。

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将 $\frac{11}{4 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{11}{4 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

合并和化简分母。

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将 $\frac{11}{4 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

移动 $\sqrt{6}$ 。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{2}}$

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

重写表达式。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

计算指数。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{24}$

Step 10

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{11}$

$\cos (θ) = \frac{5}{11}$

$\tan (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{5}$

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{24}$

$\sec (θ) = \frac{11}{5}$

$\csc (θ) = \frac{11 \sqrt{6}}{24}$

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