微积分学示例

$y = 2 e^{x} \cos (x)$

Step 1

求一阶导数。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f' (x) = 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

化简。

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运用分配律。

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

重新排序项。

$f' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Step 2

求二阶导数。

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根据加法法则， $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)]$ 。

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因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{x} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

运用分配律。

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

合并项。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{x} - 2 (e^{x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

从 $- 2 \sin (x) e^{x}$ 中减去 $2 e^{x} \sin (x)$ 。

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移动 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

从 $- 2 e^{x} \sin (x)$ 中减去 $2 e^{x} \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

将 $- 2 e^{x} \cos (x)$ 和 $2 \cos (x) e^{x}$ 相加。

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移动 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

将 $- 2 e^{x} \cos (x)$ 和 $2 e^{x} \cos (x)$ 相加。

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x) + 0$

将 $- 4 e^{x} \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x)$

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