微积分学示例

$\sin^{2} (2 t)$

Step 1

使 $u_{1} = 2 t$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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设 $u_{1} = 2 t$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

组合 $\sin^{2} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 6

化简。

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将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Step 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 9

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 10

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Step 11

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Step 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Step 13

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Step 14

化简。

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Step 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 (2 t))) + C$

Step 16

化简。

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化简每一项。

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将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (4 t)) + C$

组合 $\sin (4 t)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

运用分配律。

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

约去 $2$ 的公因数。

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从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (t)) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

重写表达式。

$\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t$ 。

$\frac{t}{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

乘以 $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2})$ 。

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将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{\sin (4 t)}{2}$ 。

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{4 \cdot 2} + C$

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C$

Step 17

重新排序项。

$\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C$

微积分学 示例

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