微积分学示例

$\ln^{3} (x)$

Step 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln^{3} (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln^{3} (x) x - \int x \frac{3 \ln^{2} (x)}{x} d x$

Step 2

化简。

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组合 $x$ 和 $\frac{3 \ln^{2} (x)}{x}$ 。

$\ln^{3} (x) x - \int \frac{x (3 \ln^{2} (x))}{x} d x$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$\ln^{3} (x) x - \int \frac{x (3 \ln^{2} (x))}{x} d x$

用 $3 \ln^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln^{3} (x) x - \int 3 \ln^{2} (x) d x$

Step 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\ln^{3} (x) x - (3 \int \ln^{2} (x) d x)$

Step 4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln^{3} (x) x - 3 \int \ln^{2} (x) d x$

Step 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln^{2} (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x)$

Step 6

化简。

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组合 $x$ 和 $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ 。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

用 $\ln (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int \ln (x^{2}) d x)$

Step 7

将 $\ln (x^{2})$ 重写为 $2 \ln (x)$ 。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int 2 \ln (x) d x)$

Step 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - (2 \int \ln (x) d x))$

Step 9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 \int \ln (x) d x)$

Step 10

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x))$

Step 11

化简。

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组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x))$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x))$

重写表达式。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int d x))$

Step 12

应用常数不变法则。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C)))$

Step 13

将 $\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C)))$ 重写为 $\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x) + C$ 。

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x) + C$

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