微积分学示例

$\sum_{0}^{8} 8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$

Step 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

Step 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

化简。

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约去 $8$ 的公因数。

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约去公因数。

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

重写表达式。

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

约去 ${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ 和 ${(- \frac{2}{3})}^{i}$ 的公因数。

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从 ${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ 中分解出因数 ${(- \frac{2}{3})}^{i}$ 。

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

约去公因数。

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乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

约去公因数。

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

重写表达式。

$r = \frac{- \frac{2}{3}}{1}$

用 $- \frac{2}{3}$ 除以 $1$ 。

$r = - \frac{2}{3}$

Step 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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将 $0$ 代入 $8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$ 以替换 $i$ 。

$a = 8 {(- \frac{2}{3})}^{0}$

化简。

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使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$a = 8 ({(- 1)}^{0} {(\frac{2}{3})}^{0})$

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$a = 8 ({(- 1)}^{0} \frac{2^{0}}{3^{0}})$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 8 (1 \frac{2^{0}}{3^{0}})$

将 $\frac{2^{0}}{3^{0}}$ 乘以 $1$ 。

$a = 8 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 8 \frac{1}{3^{0}}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 8 (\frac{1}{1})$

约去 $1$ 的公因数。

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约去公因数。

$a = 8 (\frac{1}{1})$

重写表达式。

$a = 8 \cdot 1$

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$a = 8$

Step 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$8 \frac{1 - {(- \frac{2}{3})}^{9}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Step 5

化简。

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化简分子。

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使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{2}{3})}^{9})}{1 - - \frac{2}{3}}$

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{2^{9}}{3^{9}})}{1 - - \frac{2}{3}}$

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{9}$ 。

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移动 ${(- 1)}^{9}$ 。

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

将 ${(- 1)}^{9}$ 乘以 $- 1$ 。

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对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

对 $- 1$ 进行 $10$ 次方运算。

$8 \frac{1 + 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

将 $\frac{2^{9}}{3^{9}}$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{1 + \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

对 $2$ 进行 $9$ 次方运算。

$8 \frac{1 + \frac{512}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

对 $3$ 进行 $9$ 次方运算。

$8 \frac{1 + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 \frac{\frac{19683}{19683} + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

在公分母上合并分子。

$8 \frac{\frac{19683 + 512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

将 $19683$ 和 $512$ 相加。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

化简分母。

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乘以 $- - \frac{2}{3}$ 。

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将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + 1 (\frac{2}{3})}$

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + \frac{2}{3}}$

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

在公分母上合并分子。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3 + 2}{3}}$

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{5}{3}}$

将分子乘以分母的倒数。

$8 (\frac{20195}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

约去 $5$ 的公因数。

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从 $20195$ 中分解出因数 $5$ 。

$8 (\frac{5 (4039)}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

约去公因数。

$8 (\frac{5 \cdot 4039}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

重写表达式。

$8 (\frac{4039}{19683} \cdot 3)$

约去 $3$ 的公因数。

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从 $19683$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 (\frac{4039}{3 (6561)} \cdot 3)$

约去公因数。

$8 (\frac{4039}{3 \cdot 6561} \cdot 3)$

重写表达式。

$8 (\frac{4039}{6561})$

乘以 $8 (\frac{4039}{6561})$ 。

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组合 $8$ 和 $\frac{4039}{6561}$ 。

$\frac{8 \cdot 4039}{6561}$

将 $8$ 乘以 $4039$ 。

$\frac{32312}{6561}$

Step 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{32312}{6561}$

小数形式：

$4.92485901 \dots$

带分数形式：

$4 \frac{6068}{6561}$

微积分学 示例

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