微积分学示例

$f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$

Step 1

求函数的一阶导数。

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根据加法法则， $6 x - 3 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ 。

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因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$6 - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$6 - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

重写表达式。

$6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$6 - 3 (1 + \ln (x))$

化简。

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运用分配律。

$6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

合并项。

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将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$6 - 3 - 3 \ln (x)$

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$3 - 3 \ln (x)$

Step 2

求函数的二阶导数。

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求微分。

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根据加法法则， $3 - 3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 。

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因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{1}{x}$

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{- 3}{x}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

从 $0$ 中减去 $\frac{3}{x}$ 。

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Step 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Step 4

求一阶导数。

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求一阶导数。

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根据加法法则， $6 x - 3 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ 。

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因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$f' (x) = 6 - 3 \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f' (x) = 6 - 3 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)$

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

重写表达式。

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x))$

化简。

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运用分配律。

$f' (x) = 6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

合并项。

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将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 - 3 - 3 \ln (x)$

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = 3 - 3 \ln (x)$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 - 3 \ln (x)$ 。

$3 - 3 \ln (x)$

Step 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 - 3 \ln (x) = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 - 3 \ln (x) = 0$

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 3 \ln (x) = - 3$

将 $- 3 \ln (x) = - 3$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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将 $- 3 \ln (x) = - 3$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

化简左边。

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约去 $- 3$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- 3}{- 3}$

化简右边。

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用 $- 3$ 除以 $- 3$ 。

$\ln (x) = 1$

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

使用对数的定义将 $\ln (x) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{1} = x$

将方程重写为 $x = e^{1}$ 。

$x = e$

Step 6

求使导数无意义的值。

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将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

要计算的驻点。

$x = e$

Step 8

计算在 $x = e$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{3}{e}$

Step 9

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = e$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = e$ 是一个极大值

Step 10

求 $x = e$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $e$ 替换变量 $x$ 。

$f (e) = 6 (e) - 3 e \ln (e)$

化简结果。

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化简每一项。

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$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (e) = 6 e - 3 e \cdot 1$

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f (e) = 6 e - 3 e$

从 $6 e$ 中减去 $3 e$ 。

$f (e) = 3 e$

最终答案为 $3 e$ 。

$y = 3 e$

Step 11

这些是 $f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$ 的局部极值。

$(e, 3 e)$ 是一个局部最大值

Step 12

微积分学 示例

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