微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{5} 2^{n - 2}$

Step 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

Step 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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将 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{2^{n + 1 - 2}}{2^{n - 2}}$

化简。

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约去 $2^{n + 1 - 2}$ 和 $2^{n - 2}$ 的公因数。

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从 $2^{n + 1 - 2}$ 中分解出因数 $2^{n - 2}$ 。

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2}}$

约去公因数。

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乘以 $1$ 。

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

约去公因数。

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

重写表达式。

$r = \frac{2^{n - 1 - (n - 2)}}{1}$

用 $2^{n - 1 - (n - 2)}$ 除以 $1$ 。

$r = 2^{n - 1 - (n - 2)}$

化简每一项。

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运用分配律。

$r = 2^{n - 1 - n - - 2}$

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$r = 2^{n - 1 - n + 2}$

合并 $n - 1 - n + 2$ 中相反的项。

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从 $n$ 中减去 $n$ 。

$r = 2^{0 - 1 + 2}$

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$r = 2^{- 1 + 2}$

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$r = 2^{1}$

计算指数。

$r = 2$

Step 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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将 $1$ 代入 $2^{n - 2}$ 以替换 $n$ 。

$a = 2^{1 - 2}$

化简。

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从 $1$ 中减去 $2$ 。

$a = 2^{- 1}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$a = \frac{1}{2}$

Step 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2^{5}}{1 - 1 \cdot 2}$

Step 5

化简。

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化简分子。

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对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 32}{1 - 1 \cdot 2}$

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 32}{1 - 1 \cdot 2}$

从 $1$ 中减去 $32$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 1 \cdot 2}$

化简分母。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 2}$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{- 1}$

用 $- 31$ 除以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 31$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $31$ 。

$\frac{31}{2}$

Step 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{31}{2}$

小数形式：

$15.5$

带分数形式：

$15 \frac{1}{2}$

微积分学 示例

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