微积分学示例

$f (x) = e^{\sin (x)}$

Step 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$

Step 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{\sin (x)}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{\sin (x)}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

重新排序项。

$f'' (x) = - e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Step 3

求三阶导数。

点击获取更多步骤...

根据加法法则， $- e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{\sin (x)} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \sin (x)]$ 。

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{\sin (x)}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{\sin (x)}$ 且 $g (x) = \cos^{2} (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

点击获取更多步骤...

移动 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

点击获取更多步骤...

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 2} e^{\sin (x)}$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

化简。

点击获取更多步骤...

运用分配律。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x)) - (\sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

合并项。

点击获取更多步骤...

重新排序 $- \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$ 的因式。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

将 $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ 和 $e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x))$ 相加。

点击获取更多步骤...

将 $e^{\sin (x)}$ 和 $- 2$ 重新排序。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) - 2 \cdot (e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

从 $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $2 \cdot e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ 。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

重新排序项。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

从 $- e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

点击获取更多步骤...

从 $- e^{\sin (x)} \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

从 $- 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

从 $e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

从 $\cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

从 $\cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

移动 $e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

从 $- e^{\sin (x)}$ 中分解出因数 $- e^{\sin (x)}$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

从 $e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- e^{\sin (x)}$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

从 $- e^{\sin (x)} (1) - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- e^{\sin (x)}$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

将 $- 1 \cos^{2} (x)$ 重写为 $- \cos^{2} (x)$ 。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

使用勾股恒等式。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

运用分配律。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

使用乘法的交换性质重写。

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

使用乘法的交换性质重写。

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$

将 $- \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$ 中的因式重新排序。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$

Step 4

$f (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ 。

$- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$

微积分学 示例

微积分学示例