微积分学示例

$\cos^{3} (2 x)$

Step 1

将 $\cos^{3} (2 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cos^{3} (2 x)$

Step 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \cos^{3} (2 x) d x$

Step 4

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 5

组合 $\cos^{3} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Step 7

因式分解出 $\cos^{2} (u_{1})$ 。

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 8

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (u_{1})$ 重写成 $1 - \sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 9

使 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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设 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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对 $\sin (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1})$

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 11

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 12

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 13

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Step 14

化简。

$\frac{1}{2} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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使用 $\sin (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Step 16

化简。

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组合 $\sin^{3} (2 x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

运用分配律。

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3})$ 。

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将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 17

重新排序项。

$\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$

Step 18

答案是函数 $f (x) = \cos^{3} (2 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$

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