微积分学示例

$| 3 t - 4 |$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = | t |$ 且 $g (t) = 3 t - 4$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 t - 4$ 。

$f' (t) = \frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d t} (3 t - 4)$

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$f' (t) = \frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d t} (3 t - 4)$

使用 $3 t - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot \frac{d}{d t} (3 t - 4)$

求微分。

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根据加法法则， $3 t - 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ 。

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (\frac{d}{d t} (3 t) + \frac{d}{d t} (- 4))$

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (- 4))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (- 4))$

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 + \frac{d}{d t} (- 4))$

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 + 0)$

合并分数。

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将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot 3$

组合 $\frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |}$ 和 $3$ 。

$f' (t) = \frac{(3 t - 4) \cdot 3}{| 3 t - 4 |}$

将 $3$ 移到 $3 t - 4$ 的左侧。

$f' (t) = \frac{3 \cdot (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$

化简。

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运用分配律。

$f' (t) = \frac{3 (3 t) + 3 \cdot - 4}{| 3 t - 4 |}$

化简每一项。

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将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f' (t) = \frac{9 t + 3 \cdot - 4}{| 3 t - 4 |}$

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (t) = \frac{9 t - 12}{| 3 t - 4 |}$

从 $9 t - 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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从 $9 t$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (t) = \frac{3 (3 t) - 12}{| 3 t - 4 |}$

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (t) = \frac{3 (3 t) + 3 (- 4)}{| 3 t - 4 |}$

从 $3 (3 t) + 3 (- 4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (t) = \frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$

$f (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$ 。

$\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |} = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |} = 0$

将分子设为等于零。

$3 (3 t - 4) = 0$

求解 $t$ 的方程。

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将 $3 (3 t - 4) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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将 $3 (3 t - 4) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (3 t - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

化简左边。

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约去 $3$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{3 (3 t - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

用 $3 t - 4$ 除以 $1$ 。

$3 t - 4 = \frac{0}{3}$

化简右边。

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用 $0$ 除以 $3$ 。

$3 t - 4 = 0$

在等式两边都加上 $4$ 。

$3 t = 4$

将 $3 t = 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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将 $3 t = 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

化简左边。

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约去 $3$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{4}{3}$

Step 3

求使导数无意义的值。

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将 $\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| 3 t - 4 | = 0$

求解 $t$ 。

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去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$3 t - 4 = \pm 0$

正负 $0$ 是 $0$ 。

$3 t - 4 = 0$

在等式两边都加上 $4$ 。

$3 t = 4$

将 $3 t = 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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将 $3 t = 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

化简左边。

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约去 $3$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{4}{3}$

Step 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 值，计算 $| 3 t - 4 |$ 。

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在 $t = \frac{4}{3}$ 处计算

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代入 $\frac{4}{3}$ 替换 $t$ 。

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

化简。

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约去 $3$ 的公因数。

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约去公因数。

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

重写表达式。

$| 4 - 4 |$

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$| 0 |$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$0$

列出所有的点。

$(\frac{4}{3}, 0)$

Step 5

微积分学 示例

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