微积分学示例

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

将 $x^{2} \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

求二阶导数。

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求一阶导数。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用幂法则求微分。

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组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

约去公因数。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

约去公因数。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

重新排序项。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

求二阶导数。

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根据加法法则， $2 x \ln (x) + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

计算 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

重写表达式。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

合并项。

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将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 \ln (x) + 3$ 。

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \ln (x) + 3 = 0$ 。

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将二阶导数设为等于 $0$ 。

$2 \ln (x) + 3 = 0$

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 \ln (x) = - 3$

将 $2 \ln (x) = - 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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将 $2 \ln (x) = - 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

化简右边。

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将负号移到分数的前面。

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

使用对数的定义将 $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

求解 $x$ 。

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将方程重写为 $x = e^{- \frac{3}{2}}$ 。

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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将 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 代入 $f (x) = x^{2} \ln (x)$ 以求 $y$ 的值。

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使用表达式中的 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

化简结果。

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对 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

将 ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

重写表达式。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{\frac{3}{2}}$ 移动到分子。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

通过将 $- \frac{3}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

将 $\frac{1}{e^{3}}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

将 $2$ 移到 $e^{3}$ 的左侧。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

最终答案为 $- \frac{3}{2 e^{3}}$ 。

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

通过将 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 代入 $f (x) = x^{2} \ln (x)$ 中求得的点为 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

将区间 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $0.12313016$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

化简结果。

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化简每一项。

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通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (0.12313016)$ 。

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

对 $0.12313016$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

最终答案为 $\ln (0.01516103) + 3$ 。

$\ln (0.01516103) + 3$

在 $0.12313016$ ，二阶导数为 $- 1.18902654$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 上递减

Step 7

将区间 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $0.32313016$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

化简结果。

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化简每一项。

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通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (0.32313016)$ 。

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

对 $0.32313016$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

最终答案为 $\ln (0.1044131) + 3$ 。

$\ln (0.1044131) + 3$

在 $0.32313016$ 处，二阶导数为 $0.74059987$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 上递增

Step 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ 。

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9

微积分学 示例

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