微积分学示例

$\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ , $(6, 0)$

Step 1

将 $\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ 写为等式。

$y = \ln (x^{2} - 6 x + 1)$

Step 2

求一阶导数并计算 $x = 6$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} - 6 x + 1$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 6 x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

使用 $x^{2} - 6 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

求微分。

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根据加法法则， $x^{2} - 6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + 0)$

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$

化简。

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重新排序 $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$ 的因式。

$(2 x - 6) \frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$

将 $2 x - 6$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$ 。

$\frac{2 x - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

从 $2 x - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x + 2 \cdot - 3}{x^{2} - 6 x + 1}$

从 $2 x + 2 \cdot - 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x - 3)}{x^{2} - 6 x + 1}$

计算在 $x = 6$ 处的导数。

$\frac{2 ((6) - 3)}{{(6)}^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

化简。

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从 $6$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{6^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

化简分母。

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对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 6 \cdot 6 + 1}$

将 $- 6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 36 + 1}$

从 $36$ 中减去 $36$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{0 + 1}$

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cdot 3}{1}$

化简表达式。

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将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6}{1}$

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6$

Step 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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使用斜率 $6$ 和给定点 $(6, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 6 \cdot (x - (6))$

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 6 \cdot (x - 6)$

求解 $y$ 。

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将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 6 \cdot (x - 6)$

化简 $6 \cdot (x - 6)$ 。

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运用分配律。

$y = 6 x + 6 \cdot - 6$

将 $6$ 乘以 $- 6$ 。

$y = 6 x - 36$

Step 4

微积分学 示例

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