微积分学示例

$\frac{\ln (x)}{x}$

Step 1

将 $\frac{\ln (x)}{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Step 2

求二阶导数。

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求一阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{x (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

使用幂法则求微分。

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组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$f' (x) = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

重写表达式。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

求二阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

求微分。

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将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

根据加法法则， $1 - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

使用幂法则求微分。

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组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

约去公因数。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

通过提取公因式进行化简。

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将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

从 $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

从 $- 2 (1 - \ln (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

从 $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

约去公因数。

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从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

化简分子。

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化简每一项。

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将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

乘以 $- 2 (- \ln (x))$ 。

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将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

从 $\ln (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

从 $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ 。

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Step 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ 。

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将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

将分子设为等于零。

$3 - \ln (x^{2}) = 0$

求解 $x$ 的方程。

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从等式两边同时减去 $3$ 。

$- \ln (x^{2}) = - 3$

将 $- \ln (x^{2}) = - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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将 $- \ln (x^{2}) = - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

化简左边。

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将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

用 $\ln (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$\ln (x^{2}) = \frac{- 3}{- 1}$

化简右边。

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用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$\ln (x^{2}) = 3$

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2})} = e^{3}$

使用对数的定义将 $\ln (x^{2}) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3} = x^{2}$

求解 $x$ 。

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将方程重写为 $x^{2} = e^{3}$ 。

$x^{2} = e^{3}$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{e^{3}}$

化简 $\pm \sqrt{e^{3}}$ 。

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因式分解出 $e^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{e^{2} e}$

从根式下提出各项。

$x = \pm e \sqrt{e}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = e \sqrt{e}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - e \sqrt{e}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Step 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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将 $e \sqrt{e}$ 代入 $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ 以求 $y$ 的值。

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使用表达式中的 $e \sqrt{e}$ 替换变量 $x$ 。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$

化简结果。

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将 $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ 。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

合并和化简分母。

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将 $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ 。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e \sqrt{e} \sqrt{e}}$

移动 $\sqrt{e}$ 。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

对 $\sqrt{e}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

对 $\sqrt{e}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{2}}$

将 ${\sqrt{e}}^{2}$ 重写为 $e$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e}$ 重写成 $e^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

重写表达式。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

化简。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

化简分母。

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使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{1 + 1}}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

最终答案为 $\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$ 。

$\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

通过将 $e \sqrt{e}$ 代入 $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ 中求得的点为 $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

$- e \sqrt{e}$ 不在 $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ 的定义域内。在 $- e \sqrt{e}$ 不存在拐点。

$- e \sqrt{e}$ is not in the domain

确定可能是拐点的点。

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Step 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Step 6

将区间 $(- \infty, e \sqrt{e})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $4.38168907$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.38168907)}^{2})}{{(4.38168907)}^{3}}$

化简结果。

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对 $4.38168907$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{{4.38168907}^{3}}$

对 $4.38168907$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{84.12492089}$

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (19.1991991)}{84.12492089}$

$19.1991991$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $2.95486856$ 。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 2.95486856}{84.12492089}$

将 $- 1$ 乘以 $2.95486856$ 。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 2.95486856}{84.12492089}$

从 $3$ 中减去 $2.95486856$ 。

$f'' (4.38168907) = - \frac{0.04513143}{84.12492089}$

用 $0.04513143$ 除以 $84.12492089$ 。

$f'' (4.38168907) = - 1 \cdot 0.00053648$

将 $- 1$ 乘以 $0.00053648$ 。

$f'' (4.38168907) = - 0.00053648$

最终答案为 $- 0.00053648$ 。

$- 0.00053648$

在 $4.38168907$ ，二阶导数为 $- 0.00053648$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, e \sqrt{e})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, e \sqrt{e})$ 上递减

Step 7

将区间 $(e \sqrt{e}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $4.58168907$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.58168907)}^{2})}{{(4.58168907)}^{3}}$

化简结果。

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对 $4.58168907$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{{4.58168907}^{3}}$

对 $4.58168907$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{96.17824304}$

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (20.99187473)}{96.17824304}$

$20.99187473$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $3.04413544$ 。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 3.04413544}{96.17824304}$

将 $- 1$ 乘以 $3.04413544$ 。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 3.04413544}{96.17824304}$

从 $3$ 中减去 $3.04413544$ 。

$f'' (4.58168907) = - \frac{- 0.04413544}{96.17824304}$

用 $- 0.04413544$ 除以 $96.17824304$ 。

$f'' (4.58168907) = 0.00045889$

最终答案为 $0.00045889$ 。

$0.00045889$

在 $4.58168907$ 处，二阶导数为 $0.00045889$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(e \sqrt{e}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(e \sqrt{e}, \infty)$ 上递增

Step 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ 。

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Step 9

微积分学 示例

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