微积分学示例

$\cos^{2} (x) \sin (x)$

Step 1

将 $\cos^{2} (x) \sin (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cos^{2} (x) \sin (x)$

Step 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Step 4

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - u^{2} d u$

Step 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u^{2} d u$

Step 6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Step 7

将 $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ 。

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

Step 8

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$

Step 9

答案是函数 $f (x) = \cos^{2} (x) \sin (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$

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