微积分学示例

$f (x) = \sin (3 x^{5})$

Step 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x^{5}$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{5}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

使用 $3 x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

求微分。

点击获取更多步骤...

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 (5 x^{4}))$

化简表达式。

点击获取更多步骤...

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$

重新排序 $\cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$ 的因式。

$f' (x) = 15 x^{4} \cos (3 x^{5})$

Step 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4} \cos (3 x^{5})$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (3 x^{5})]$ 。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4} \cos (3 x^{5}))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \cos (3 x^{5})$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{4} \frac{d}{d x} (\cos (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x^{5}$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{5}$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

使用 $3 x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

求微分。

点击获取更多步骤...

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} x^{5}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5}) x^{4}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{4} x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 15 (x^{4 + 4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

化简。

点击获取更多步骤...

运用分配律。

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

合并项。

点击获取更多步骤...

将 $- 15$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = - 225 (x^{8} (\sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 \cos (3 x^{5}) x^{3}$

重新排序项。

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$

Step 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$ 。

$- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$

微积分学 示例

微积分学示例